Uvod:

---

 

*

Dolge milijarde let v preteklosti se je oblikovalo vesolje. Kako točno se je vse zgodilo se nam še danes ne sanja, vemo pa, da je materija nadvladala nad antimaterijo in tako izoblikovala večino stvari, ki jih najdemo na Zemlji in onkraj našega neba. A bolj pomembno kot materija je energija, ki jo obdaja, ki je znotraj snovi same. Ta energija se širi v obliki valovanja, kot je na primer svetloba. Ni pa to edina oblika valovanja, s katero se srečujemo vsak dan. Težko si predstavljamo svet brez zvoka… nedeljsko kosilo, kozarec vina v roki očeta mladoporočenke, pripravljen, da napove zdravico.

Žlička trešči ob rob in zasliši se zven… ampak zakaj?

*

 

Udarec ob kozarec je opazovalni eksperiment, pri katerem smo poskusili opisati in razložiti zakonitosti, ki se skrivajo za zvenom kozarca. Kako vpljiva kapljevina na ton ob udarcu na kozarec? Pa poglejmo, kako se je naša ekipa soočila z (na prvi pogled) enostavnim pojavom in kaj se je zgodilo, ko smo odkrili fizikalno pošast, ki nas je čakala v zasedi.

Eksperiment:

---

Eksperiment smo izvajali v obdobju pandemije Covid-19, ki nam je onemogočila skupinsko delo “na štiri oči”. Posluževati smo se morali najrazličnejših komunikacijskih platform, kar nam je predstavljalo še večji izziv. Popeljali vas bomo skozi eksperimentalno zgodbo zvena kozarca.

 

Potrebščine:

• Kozarci

• Kljunasto merilo

• Čajna žlička

• Aplikacija Phyphox

• Voda

• Olje

 

Metoda merjenja:

Med izvajanjem eksperimenta smo merili razdaljo od vrha kozarca do gladine vode (l). Višino kozarca smo označili s h, dimenzije pa smo ponazorili s premeroma 2r in 2R. Za meritve dimenzij kozarca in razdalje l smo uporabljali kljunasto merilo.

Meritve smo pričeli s praznim kozarcem v katerega smo postopoma dolivali vodo. Frekvenco zvoka \(f\) ob trku s čajno žličko na kozarec smo merili z aplikacijo Phyphox z orodjem "Audio Spectrum", ki omogoči zaznavanje frekvence z resolucijo 25 Hz. Orodje nam omogoča izvoz spektra zvoka in odčitavanje frekvenc z večjo gostoto energijskega toka glede na ostale. Osnovno frekvenco zvoka pri praznem kozarcu smo označili z \(f_0\).

 

Zvok:

Svojo eksperimentalno pot smo začeli s poslušanjem zvoka ob trkih z žličko na prazen kozarec. Z uporabo aplikacije Phyphox smo izrisali spekter zvena, ki smo ga izmerili.

Na grafu spektra vidimo tri vrhove ojačane frekvence. To so trije harmoniki, ki sestavljajo zven, ki smo ga proizvedli s trkom ob kozarec. Pri nadaljnjih meritvah se bomo osredotočili le na prvo frekvenco zvena (najnižjo), saj je ta najmočnejša in tako najlažje zaznavna.

 

Napaka:

Napaka, ki jo bomo uporabili za določanje natančnosti vseh nadaljnih meritev, izhaja iz prejšnjega eksperimenta. Natančnost nam je najbolj omejevala merilna naprava za merjenje frekvence zvoka - aplikacija Phyphox. Zaradi omejene količine podatkov zbranih v sekundi (ang. sample rate), ki je lastnost programske opreme aplikacije, smo lahko frekvenco določili le na ± 25 Hz natančno. Izmerek frekvence tako predstavlja najšibkejši člen izmed parametrov. Njegova nenatančnost predstavlja globalno napako, saj je mnogo večja od napak vseh ostalih količin. A kjlub njeni relativno zaznavni velikosti, naše meritve in rezultati niso bili ovirani. Vsekakor bi lahko kot izboljšavo projekta v prihodnosti navedli uporabo boljše merilne naprave.

 

Voda in kozarci:

Delo smo nadaljevali z meritvami frekvence pri trku na različne kozarce, ob različnih višinah vode v njih. Sprva smo postavili hipotezo, da se bo frekvenca zvišala, ko bo vode v kozarcu več (uporabili smo model piščali). Kmalu smo ugotovili, da ta model ne ustreza zvenu kozarca, saj se je pri dodajanju vode dogajalo ravno nasprotno.

Ob ogledu grafov nas je doletelo prvo presenečenje. Spoznali smo, da problem še zdaleč ne bo mačji kašelj.

 

Spremenljivke:

V eksperimentih se pojavlja več spremenljivk. V vseh primerih je odvisna spremenljivka frekvenca. Da bi izmerili njeno odvisnost, smo spreminjali višino gladine in gostoto kapljevine. Ugotovili smo, da relativne spremembe frekvence (glede na lastno frenvenco) pri vseh kozarcih sledijo istemu trendu, zato smo parametre kozarcev, ki vplivajo na lastno frekvenco privzeli kot konstante. Kozarec v posameznem eksperimentu posledično nastopa kot neodvisna spremenljivka.

 

Udarci na različnih višinah.

Prešinila nas je ideja o zanimivem testnem poskusu, s katerim bi preverili odvisnost frekvence od mesta udarca z žličko. Kozarec smo napolnili do ¾ in izvedli poskus.

Kot je razvidno iz rezultatov je frekvenca pri vseh višinah udarca enaka. Kot zanimivost smo zaznali razliko v dolžini zvena zvoka. Ob udarcu pod gladino vode je bilo dušenje mnogo večje, zato je zven trajal manj časa.

 

Olje:

Naslednji korak je bila menjava kapljevine. Vodo smo zamenjali z oljem. Zanimalo nas, je ali ima gostota tekočine znotraj kozarca vpliv na frekvenco. Predpostavili smo, da bo frekvenca kozarca z oljem nekoliko višja kot pri kozarcu napolnjenem z vodo. Naša predpostavka je bila tokrat pravilna, a razlika v frekvenci je bila zelo majhna.

 

 

Voda okoli kozarca

Do sedaj smo prišli do kar nekaj ugotovitev. Predpostavili smo, da je generator zvoka steklo, ki vibrira in povzroča motnje v okolico, kar zaznamo kot zvok. Glede na to, da se frekvenca zvoka znižuje z naraščajočo gladino kapljevine v kozarcu, smo pomislili na to, da kapljevina nastopa kot dušilo in kozarcu onemogoči prosto vibriranje. Da bi to hipotezo preverili, smo poskus ponovili z dodajanjem vode zunaj kozarca. Kozarec smo pritrdili na dno večje kadi in okoli kozarca pričeli vlivati vodo ter izvedli meritve.

Na grafu je primerjava meritev ob dodajanju vode znotraj kozarca in vode zunaj kozarca. Opazimo, da je razlika minimalna oz. znotraj merske napake. Poskus je potrdil našo hipotezo.

Teorija:

---

Deformacija kozarca:

Kozarec ima relativno rigidno ogrodje. Rob kozarca niha kot je prikazano na sliki:

Rob se več sto-krat na sekundo premakne iz ene v drugo eliptično obliko (v prvi lastni frekvenci nihanja). Prikazane spremembe so pretirane zaradi lažje ilustracije oblike roba kozarca. To spreminjanje potiska zrak naprej in nazaj ter ustvari vibracije, ki v zraku povzročijo zvočno valovanje. To se širi do ušesa poslušalca in ta ga zazna kot ton.

 

Teoretični opis nihanja

Kinetična energija udarca žlice ob kozarec se delno pretvori v kinetično energijo (premikanja/vibracije) kozarca in povzroči, da zaniha v enem izmed lastnih načinov. Posledično se motnja prenese v zrak v kozarcu in izven njega. Zrak v obeh primerih zaniha z enako frekvenco. Lastna frekvenca kozarca je enaka frekvenci oziroma tonu zvočnega valovanja, ki ga slišimo.

 

Parametri:

• \(R\) - radij grla kozarca

• \(H\) - višina kozarca

• \(a\) - debelina stene kozarca

• \(\rho_l\) - gostota kapljevine

• \(\rho_g\) - gostota stekla

• \(\beta\) - konstanta

• \(\omega_0\) - krožilna frekvenca

• \(E\) - Youngov prožnostni modul za steklo

• \(\nu_0\) - lastna frekvenca kozarca

 

Iz energijskega zakona sledi, da je vsota posameznih energij kozarca \(W_k + W_{pr}\) konstantna. Ker je kinetična energija odvisna od hitrosti premikanja kozarca (\(\frac{dx}{dt}\)), prožnostna pa od velikosti tega premika (\(x\)), lahko zapišemo splošno nehomogeno diferencialno enačbo za nihanje:

\[C(\frac{dx}{dt})^2 + Bx^2 = konst.\]

Iz rešitve diferencialne enačbe nihanja sledi:

\[\omega_{0}^{2}=\frac{B}{C}\]

Zgoraj opisana enačba je osnova za izračun frekvence nihanja, toda izračun konstant \(C\) in \(B\) ni trivialen, zato smo za njuni vrednosti prevzeli rezultat iz seminarja [2]. Krožna frekvenca nihanja v predvidenem osnovnem (najnižjem) lastniem stanju:

\[\omega_{0}^{2}= \frac{3 E a^{2}}{5 \rho_{g} R^{4}}\left[1+\frac{4}{3}\left(\frac{R}{H}\right)^{4}\right]\]

Višina tona praznega kozarca je odvisna od dimenzij in oblike kozarca: debelina stene, širina (radij) grla in gostota kozarca (material). V osnovnem eksperimentu nas je zanimalo, kako vpliva dolivanje tekočine na ton, ki ga zaslišimo, ko na kozarec udarimo z žličko. Z udarcem ob kozarec vzbudimo tekočino, da ta sodeluje pri vibriranju kozarca in zraka okoli njega. Tako je kinetična energija za nihanje v enem izmed lastnih stanj kozarca večja, potencialna energija elastične deformacije pa se ne spremeni. Konstanta \(C\) se poveča, \(B\) pa ostane enaka. Dobimo izraz, ki povezuje geometrijo kozarca (razmerje višine gladine vode in višine kozarca) z razmerjem frekvenc praznega in delno napolnjenega kozarca:

\[\left(\frac{\nu_{0}}{\nu_{h}}\right)^{2}=1+\frac{\beta \rho_{l} R}{5 \rho_{g} a}\left(1-\frac{l}{H}\right)^{4}\]

\(\nu_0\) je frekvenca nihanja praznega kozarca, \(\nu_h\) je izmerjena frekvenca ob določeni višini gladine vode v kozarcu. \(\rho_l\) je gostota tekočine, \(\rho_g\) je gostota stekla, R je polmer grla in H je debelina stene. Razmerje med višino gladine vode in višino kozarca na četrto potenco je povezano z vedno večjim prispevkom vode k spremembi tona. Bližje kot je gladina vrhu kozarca, več prispeva k znižanju tona.

Zaključek:

---

Sedaj poznamo mehaniko deformacij kozarca, ki v zrak širi zvočno valovanje, in matematični opis odvisnosti parametrov. Svoje ugotovitve ob eksperimentih povežemo s teorijo in preverimo pravilnost našega merjenja ter natančneje pojasnimo dogajanje, ki smo ga opazili med izvajanjem poskusov.

Zaradi deformacije kozarca se po zraku širi motnjo, ki jo slišimo kot zven. Z dolivanjem vode se frekvenca spreminja. Dogajanje smo želeli pojasniti z modelom piščali, a hipotezo smo ovrgli, saj je ta pripeljala do protislovja z resničnim dogajanjem. Tekočina upočasni zmožnost hitre deformacije kozarca. Pri praznem kozarcu je frekvenca višja, ko pa vanj dolijemo vodo, zaznamo učinek tekočine kot znižanje frekvence. Enačba nam razloži odvisnost razmerja frekvenc od razmerja višine vodne gladine in višine kozarca. Kot sorazmerni koeficient nastopajo parametri: dušenje, gostota tekočine, gostota stekla, radij kozarca in debelina stene.

Opazili smo, da se z višanjem gladine vode frekvenca tona znižuje. Kozarci z večjim radijem imajo na splošno nižje frekvence v primerjavi s tistimi z ožjimi grli. Zaznali smo tudi razliko pri uporabi različnih tekočin (kozarec z oljem ima nekoliko višjo frekvenco kot kozarec napolnjen z vodo) in zdaj razumemo, da je ta komaj opazna zaradi eksponentov, ki nastopajo v linearizirani enačbi.

Te ugotovitve se ujemajo z enačbo, a da bi se še bolje prepričali o ujemanju meritev s teorijo, smo preverili ujemanje koeficienta naklona premice lineariziranega grafa in istega koeficienta izračunanega iz “pofitanih” grafov. Tako smo potrili svojo hipotezo.

 

Enačba za izračun koeficienta iz parametrov:

\[k = {\beta \rho_l R \over 5 \rho_g a}.\]

\(R\) in \(a\) sta spreminjajoča se parametra, odvisna od posameznega kozarca. Ostali parametri so konstantni v vseh meritvah (dušenje je bilo pri vseh kozarcih enako, vsi kozarci so bili stekleni in pri meritvah je bila uporabljena le voda):

• \(\beta = 1.4\)

• \(\rho_l = 997 \frac{kg}{m^3}\)

• \(\rho_g \approx 2500 \frac{kg}{m^3}\)

 

Rezultati koeficienta izračunanega iz parametrov - k(izračun) in primerjava s koeficientom zračunanim iz “fitanja” grafov - k(fit):

	R[mm]	a[mm]	k(izračun)	k(fit)
kozarec 1	37.1	3.1	1.34	1.25089 ±0.06963
kozarec 2	39.9	2.6	1.71	1.66331 ±0.07377
kozarec 3	30.3	1.9	1.78	1.84165 ±0.06705
kozarec 4	37.5	1.8	2.33	2.90583 ±0.40197
kozarec 5	32.5	1.0	3.63	2.86368 ±0.45500
kozarec 6	36.5	1.0	4.08	5.01275 ±0.78689
kozarec 7	44.5	3.0	1.66	2.37911 ±0.06166
kozarec 8	33.7	1.7	2.21	2.36996 ±0.06129

 

Dobljeni izračuni koeficientov pri posameznem kozarcu se dovolj dobro ujemajo (ponekod so znotraj napake), da lahko potrdimo ujemanje meritev in teorije. To pomeni, da so bile metode, ki smo jih uporabljali med merjenjem in fizikalni model, s katerim smo pojave razložili, ustrezne.

Z uporabo prej omenjene enačbe pa lahko izmerke prikažemo tudi tako, da na ordinato nanašamo kvadrat obratne vrednosti razmerja izmerjene frekvence z osnovno \((\frac{f_0}{f})^2\). Na absciso pa bikvadrat deleža polnosti kozarca \((1-\frac{l}{h})^4\). Tako lahko torej meritve prikažemo kot linearne funkcije in posledično lažje izračunamo koeficient \(k\).

Naša meritev nas je pripeljala do “lepih” rezultatov, a opazili smo nekaj pomanjkljivosti, ki bi jih lahko izboljšali. Navajamo jih kot nasvet za izboljšave:

• Čeprav smo eksperiment izvedli s tekočinami z različnimi gostotami – voda in olje, so se rezultati, ki smo jih dobili, razlikovali zelo malo. Zanimivo bi bilo poskuse izvesti s kakšno še gostejšo tekočino, da bi bila razlika bolj očitna, npr. z medom ali živim srebrom.

• Zanimivo bi bilo eksperimentirati s kozarci iz različnih materialov, na primer kovinskimi. Pomembno je, da lepo zvenijo, da bodo meritve zvoka kakovostne.

• Velik izziv bi bilo poskus izvesti v posodi z drugim plinom, na primer dušikom ali helijem, kar bi zagotovo prineslo zanimive rezultate, pomeni pa to nekoliko večji tehnološki zalogaj. Opozoriti moramo, da naš model (enačba) najverjetneje ne bo mogel razložiti pojava, saj je v izpeljavi predpostavljeno, da se le-ta dogaja v zraku.

• Zaradi pandemije Korona virusa je projekt potekal na daljavo. Dodaten izziv je bil pozitivno rešen, a do nekaterih rešitev bi lahko prišli hitreje in bolj efektivno. Navsezadnje nam je kljub oteženim okoliščinam uspelo in če že navajamo izboljšave, je ta sigurno vredna omembe.

 

Naša formula zvena kozarca se tukaj še ne konča. Dodali smo še “bonus” rubriko z še nekaj zelo zanimivimi ugotovitvami in poskusi nekoliko drugačne narave. Pobrskaj, nas že srbijo prsti.

Bonus:

---

Trdna snov:

Tekočino v kozarcu smo zamenjali z drobci trdne snovi in preverili obnašanje frekvence. Primerni sestavini, ki smo ju imeli vsi doma sta bili moka in riž…

Ko smo kozarec napolnili s trdo snovjo do polovice ali več, je bilo dušenje že tolikšno, da smo komaj zaznali ton. A to ne pomeni da je poskus nekoristen. Problem, s katerim smo se soočili je bil namreč v velikosti zrn riža in drobcev moke, med katerimi je bila ujeta velika količina zraka. Frekvenca se je opazno zmanjšala šele, ko smo kozarec popolnoma napolnili s trdo snovjo. Zaradi nezveznega premikanja delcev sta bili snovi slab medij za prenašanje valovanja in sta ga zato hitro zadušili. To je tudi razlog, da so meritve, izvedene pri polnem kozarcu, manj verodostojne, saj je napaka tu večja (dušenje).

 

Voda znotraj in zunaj kozarca:

Pri eksperimentu z vodo, ki smo jo nalivali okoli kozarca, se nam je porodila nova zamisel. Kozarec smo pritrdili na dno kadi in vodo vlili okoli kozarca do višine njegovega roba. Meritve smo pričeli izvajati pri vlivanju vode v kozarec na različnih višinah in zaključili pri polnem kozarcu.

Naša enačba (model) pojava ne more razložiti, saj smo pri teoretični izpeljavi predpostavili, da kozarec obdaja zrak (snov - okoli kozarca z enako gostoto kot je snov - nad kozarcem po kateri se zvočna motnja širi po prostoru). V enačbi bi se najverjetneje pojavil dodaten člen. Ta problem prepuščamo nekomu z dovolj znanja in zagona, da mu bo prišel do dna.

Kot zanimivost tega poskusa je vredno omeniti, da je dušenje zvoka, ko je kozarec zunaj in znotraj obdan z vodo zelo veliko. Po preveliki želji do popolnega tona je kozarec žal delček sebe žrtvoval za znanost.

*

Zdaj vemo zakaj kozarec zazveni, ko nanj udarimo s čajno žličko. A to je le en primer zanimivega vesolja energije in materije v katerem živimo. Zato raziskuj dalje, vesolje te čaka, da raziščeš njegove skrivnosti.

*

Galerija:

---

Zahvala