Merjenje raztezka elastike v odvisnosti od sile

Uvod

Za večino elastičnih (to pomeni, da se po deformaciji vrnejo v prvotno stanje) snovi in npr. vzmeti velja Hookov zakon. Ta trdi, da je sila sorazmerna z raztezkom (sila F = kΔl, pri čemer je Δl raztezek in k koeficient raztezka). Sorazmernosti koeficient je v tem primeru konstanten. Tudi pri vzmeti lahko dosežemo območje, ko ta zveza ne velja več.Takrat smo izven območja linearnosti. Vseeno lahko uporabimo isto zvezo, vendar koeficient postane funkcija raztezka.

Pri svoji nalogi smo morali določiti raztezek elastike v odvisnosti od obremenitvene sile na njo. Pri nalogi smo uporabljali 2 elastiki, ki sta bili pleteni iz veliko manjših elastik. Ena od njiju je bila pletena tako, da so bile manjše elastike ena za drugo povezane v enojno verigo (to elastiko bomo v nadaljevanju imenovali "enojna" elastika); druga pa je bila vezana tako, da so bile manjše elastike med seboj povezane v dvojno verigo (to elastiko bomo v nadaljevanju imenovali "dvojna" elastika). Pri svoji nalogi smo za določanje raztezka od sile uporabili štiri metode: obešanje uteži na elastiko, merjenje dolžine izstrelka, ki ga je izstrelila elastika, merjenje pospeška avtomobilčka, ki ga je pospeševala elastika ter merjenje sile pri določenem raztezku.

1. metoda - obešanje uteži

Prva metoda, ki smo jo uporabili za merjenje raztezka v odvisnosti od sile, je bila obešanje uteži na elastiko. Uteži smo najprej stehtali in zabeležili njihovo težo - vsaka utež je imela približno 100g. Nato smo uteži eno za drugo obešali na elastiko in izmerili njen raztezek pri vsaki obremenitvi. Na elastiko smo obesili 10 uteži, ki so imele skupno maso 1010 g in na elastiko delovale s silo 9.9 N. Podatke smo beležili v Excelov dokument. Ko smo dosegli kritično obremenitev, smo uteži v obratnem vrstnem redu jemali iz elastike in ponovno izmerili raztezek pri vsaki obremenitvi posebej. Tako smo lahko opazili nastanek histerez. Enak eksperiment smo dvakrat ponovili na obeh elastikah. Dobljene podatke smo obdelali in tako dobili grafa, ki prikazujeta raztezek enojne in raztezek dvojne elastike v odvisnosti od sile s katero ju raztegujemo.

2. metoda - frača

Pri drugi metodi je bila ideja določanja raztezka v odvisnosti od sile malce bolj komplicirana. Na podlagi razdalje, ki jo je opravila kloglica, izstreljena z elastiko, smo želeli določiti njeno začetno hitrost, iz katere bi vedeli njeno kinetično energijo tik po izstrelitvi. Ta kinetična energija je pravzaprav potencialna energija elastike, ko je bila le-ta napeta na začetno lego. Iz razlike teh energij pri različnih legah (x), bi tako lahko določili koeficient k(Δl) in posledično izračunali raztezek elastike v odvisnosti od sile.

Za ta eksperiment smo morali sami izdelati fračo, ki smo jo uporabili za izstrelitev kroglice. Frača kroglico izstreli pod kotom 45°, saj ima pod tem kotom kroglica največji domet, s čimer zmanjšamo relativno negotovost meritve. Da bi imeli meritve, ki so ponovljive, smo se odločili, da bomo dali kroglico na nosilec, po katerem bo drsela med izstrelitvijo, za nosilec smo uporabili kovinsko palico s profilom, ki je omogočal, da v utor profila namestimo kovinsko ploščico, ki je potiskala kroglico po nosilcu. Elastiko smo namestili na kovinsko palico, ki je bila pritrjena na nosilec. Na tla smo pritrdili liste papirja na katere smo postavili indigo paprir. Tako je kroglica ob pristanku pustila sled na papirju. V Excelov dokument smo zabeležili višino iz katere smo izstrelili kroglice, dolžino elastike v stanju, ko je nismo dodatno napeli, maso kroglice in kovinske ploščice, ter vodoravno razdaljo, ki so jo med izstrelkom opravile kroglice. Slabost te metode je slaba pretvorba energije, saj se ne pretvori vsa potencialna energija elastike v kinetično energijo kroglice tik po izstrelitvi; nekaj energije se "izgubi" zaradi trenja med ploščico in nosilcem, nekaj v vibraciji elastike tik po izstrelitvi in nekaj v kinetično energijo ploščice, ki leti skupaj s kroglico.

3. metoda - hitrost avtomobilčka

Na rob drsne klopi smo postavili merilec hitrosti. Klop smo najprej umerili tako, da je avtomobilček, ki smo ga pognali z roko, čim dlje tekel s konstantno hitrostjo. Tako smo z naklonom klopi izničili učinek trenja v kolesih. Na drugo stran smo vpeli elastiko in nanjo avtomobilček. Meritev je potekala takole: najprej smo avtomobilček potegnili tako, da smo raztegnili elastiko, in ga v tem položaju zadržali. Ko smo spustili, se je začel pospešeno gibati, dokler je elastika bila napeta. Iz maksimalne hitrosti smo dobili, koliko dela je opravila elastika v celoti. Z obdelavo podatkov smo pridobili raztezek elastike v odvisnosti od sile in tako določili k(Δl).

4. metoda - sila v odvisnosti od raztezka

Kot četrto metodo smo uporabili merjenje sile v odvisnosti od raztezka. Spodnja posnetka prikazujeta, kako se je silomer razetal v odvisnosti od raztezka elastike. Od vseh metod je ta najbolj neposredna in ima tako najmanj prostora za negotovost (disipativne sile, zapleteni računi...), vendar pa zaradi omejene ločljivosti kamere nismo mogli dovolj oddaljiti, da bi pri enojni elastiki lahko razbrali tudi sile pri večjih raztezkih in zato nekaj zadnjih merilnih točk pri enojni elastiki manjka. Podatke o sili, iz katerih smo določili k(Δl) smo dobili iz obdelave videov in smo jih zabeležili v Excel.

Rezultati

Podatke, ki smo jih zbrali z našimi 4 metodami smo obdelali na različne načine:

• Obešanje uteži

  Ker smo na elastike obešali uteži z znanimi masami, smo preko enačbe pretvorili mase v silo s katero je bila napeta vrvica. Neraztegnjena dolžina enojne elastike je bila 20 cm, dvojne pa 15 cm. Podatek za vsako silo smo delili z izmerjenim raztezkom - enkrat z dodajanjem uteži in enkrat z odvzemanjem - zaradi enačbe: . Grafa histereze elastik sta si zelo podobna. Zelena črta, ki je povprečje vrednosti pri dodajanju in odvzemalnju, se zelo dobro prilega premici. Podatke smo obdelali v Pythonu.

  Spodnja grafa predstavljata s kakšno silo smo na elastiko delovali pri določenem raztezku. Kot vidimo bi koeficientu k lahko pripisali konstantno vrednost približno 83 N/m za dvojno pleteno, pri enojni elastiki pa lahko opazimo, da se linearna trendna črta ne prilega tako lepo, a če bi želeli k-ju pripisati konstantno vrednost bi znašala približno 33 N/m.

  

  

  Obdelane podatke za enojno in dvojno elastiko smo nato vstavili v graf. Rdečo in modro črto smo dobili z numeričnim odvajanjem pri dodajanju (oziroma odstranjevanju) uteži, zelena predstavlja odvod pri določenem x, vijolična pa kvocient v programu Python:

  

  
• Frača

  Ko vzmet skrajšamo, ji tudi spremenimo koeficient raztezka. Pri isti napetosti v vzmeti se ohranja produkt koeficienta z dolžino – če imamo vzmet s koeficientom k0 in dolžino x0 in jo skrajšamo na dolžino x1, dobimo vzmet s takšnim koeficientom k1, da velja zveza k1x1 = k0x0. Ko fračo napnemo v resnici prepolovimo elastiko in obrnemo smeri sil. Pravokotne komponente sil se odštejejo, vzporedne z gibanjem pa seštejejo v silo F. Za majhno spremembo dolžine, ki smo jo označili z l (z l0 pa dolžino neraztegnjene elastike), lahko rečemo, da je k konstanten. Tako lahko izračunamo delo: , če se elastika malo premakne (to zapišemo v diferencialni obliki). V izrazu za koeficient se nam zato pojavi odvod dela. Celotno delo, ki ga elastika opravi se pretvori v kinetično in potencialno energijo (gledamo trenutek tik preden kroglica zapusti fračo). Iz dometa izračunamo začetno hitrost kroglice: in od tod dobimo delo. Izračun koeficienta k(Δl) je malce bolj zapleten, izračunali pa smo ga s pomočjo spodnjih enačb v programu Python. V spodnjih enačbah je dA\dα izračunan iz zaporednih izmerjenih vrednosti A in α. Vsaka vrednost A je izračunana iz d po zgornjih enačbah, α pa iz x po enačbi α=arctan(a/x).

  

  

  Spodnja grafa prikazujeta domet kroglice pri določeni začetni legi kroglice - začetna lega kroglice na grafu na osi x ni enaka raztezku elastike Δl, saj elastiko raztegujemo pod kotom in prepognjeno na pol. Na grafih je tudi teoretična napoved, dobljena po zgornjih enačbah pri koeficientu, ki smo ga izračunali iz zgornjih enačb.

  

  

  Iz podatkov smo izračunali vrednosti koeficienta in jih vstavili v grafa, ki prikazujeta k(Δl):

  

  
• Avtomobilček

  Podobno kot pri frači je tudi pri avtomobilčku, le da ni potencialne energije in maksimalno hitrost merimo direktno. Tako je celotno delo eako: , hkrati pa vemo . Iz česar sledi enačba, ki smo jo uporabili že pri izračunu k(Δl) pri raztegovanju elastike z utežmi: . Podatke smo ponovno obdelali s programom Python.

  Grafa, ki prikazujeta koeficient k(Δl) pri avtomobilčku:

  

  
• Silomer

  Pri silomeru smo podatke zbirali najbolj neposredno - opazovali smo raztezek ki je posledica sile, ki jo nad elastiko izvaja roka. Ker je narava poskusa (za razliko od obešanja uteži) zvezna, tukaj nismo omejeni na število točk, ki jih lahko izrišemo na grafu. Podatke smo obdelali v Excelu. Uporabili smo enako enačbo .

  Grafa, ki prikazujeta silo na elastiko pri določenem raztezku:

  

  

  Iz dobljenih podatkov smo nato izrisali spodnja grafa:

  

  

  KOMENTAR: Iz grafov F(Δl) je lepo razvidno da linearni prilagoditvi grafov v celoti pašeta znotraj okvira negotovosti, iz česar lahko zaključimo, da je k konstanten z vrednostjo približno 9 N/m za enojno pleteno elastiko in 18 N/m za dvojno pleteno elastiko (kar je tudi izredno logično, saj je dvojno pletena elastika pletena še enkrat gosteje kakor enojna elastika). Zaključimo lahko, da so spremembe k zgolj posledica negotovosti pri numeriučnem odvajanju.

Skupaj

Spodnji graf prikazuje k(Δl) obeh elastik iz pridobljenih iz vseh 4 metod - na grafu zaradi preglednosti nismo označili negotovosti:

Kot smo pričakovali lahko iz grafa opazimo, da je k(Δl) pri vseh metodah vedno večji pri dvojni kot pri enojni elastiki. Zaradi največjih izgub je tudi pričakovano k(Δl) pri frači manjši kakor pri ostalih metodah. Kar pa se nam je zdelo zelo zanimivo, je k(Δl), ki smo ga izmerili pri avtomobilčku. Pri tem smo namreč z nagnjeno klopjo poskrbeli za minimalne izgube in tudi energija vrtečih se koles je zanemarljivo majhna. Tako smo se na podlagi dejstva, da je izmerjeni k pri avtomobilčku in frači najmanjši, pri obešanju uteži pa največji odločili za uvedbo "dinamičnega" k(Δl). Menimo, da je pri takšni elastiki koeficient raztegovanja manjši, če elastiko raztegujemo hitro, kot če jo raztegujemo počasi. Razlog za to bi se lahko skrival v sestavi elastike - ta je bila namreč spletena iz več manjših elastik in tako bi lahko interakcije med njimi opisali kot popolnoma neprožne trke - po "trku" sta elastiki glede ena na drugo pri miru. Če elastiko rztegujemo hitreje, so pri teh trkih izgube večje (elastika se verjetno tudi bolj segreje) kot če jo raztegujemo počasi. Ker lahko tako iz elastike dobimo "povrnjen" manjši delež energije - k smo merili preko energije. Zaradi teh izgub v elastiki izgleda, kot da je koeficient elastike med gibanjem manjši kot sicer. Našo hipotezo, da je "dinamični" k(Δl) manjši od statičnega potrjuje tudi dejstvo, da smo pri težji obremenitvi pri avtomobilčku (ko se je elastika premikala počasneje) izmerili večji k kakor pri manjši obremenitvi. Razlog je verjetno tudi to, da se je utež, ko smo merili "statičen" k še vedno vidno raztegovala med odčitavanjem raztezka - torej smo tako izračunali večji k kot bi ga, če bi z odčitavanjem počakali več časa.

Izboljšave

• Uteži

  Meritev smo naredili več, ker smo opazili, da so zaporedne meritve bile precej različne. Negotovost ni bila pri sili, saj smo uteži tehtali skupaj in s tem zmanjšali relativno negotovost meritev. Velik problem pri merjenju je povzročalo merjenje raztezka. Elastika se je namreč raztegovala počasi - ko smo obesili utež je lahko trajalo več sekund, da se je zmanjšala hitrost raztezanja pod 0.2mm/s. To smo slabo nadzorovali. Na nek način bi morali pri vseh meritvah čakati enako dolgo, npr. do neke fiksne hitrosti raztezka, ki bi jo morali tudi meriti. Kot izboljšavo tega poskusa smo poskusili z videom, pri čemer smo z enakomerno hitrostjo raztezali gumico in tako dobili natančnejšo (ali zaradi razlike med staticnim in dinamicnim koeficientom povsem drugo) meritev.

• Frača

  Da bi čim bolj povečali občutljivost frače, smo nastavili naklon na 45°, saj je tako domet največji. S tem smo otežili račun in onemogočili merjeneje pri majhni raztegnjenosti, saj je morala sila elastike ves čas tudi premagovati silo teže. Da bi poskus bil točnejši smo fračo pritrdili na rob mize in indigo papir prilepili na tla. Za delovanje frače so bile ključne sani, ki so omogočile stabilno povezavo med elastiko in kroglico. Energetske izgube pri tovrstnem eksperimentu so zaradi vibriranja elastika po izstrelku, zračni upor kroglice, trenje v elastiki sami in trenje sani z ogrodjem. Slednjega smo poskusili zmanjšati tako, da smo namazali z oljem. Sani smo izdelali majhne in tako, da so skupaj s kroglico zapustile fračo, da bi prevzele čim manj energije, ki smo jo znali upoštevati (ker sta začetni hitrsoti kroglice in sani enaki). Če smo sani spustili same, so se precej zatikale, ker so se usedle na dno utora. Ko smo na spodnji del sani namestili elastiko, so drsele skorajda brez trenja, zato smo bili z njimi zadovoljni (jih nismo več izboljševali). Elastiko smo se trudili nameščati na isto mesto in vsakič enako spustiti z roko, a sta to vseeno vira nekonsistentnosti.

  Dodatno: Nekonsistenten položaj elastike na saneh bi lahko izboljšali z utorom za elastiko. Namesto spuščanja z roko bi lahko nastavili mehanizem, ki bi to vsakič storil enako. Če bi frača delovala vodoravno, bi bilo manj težav s trenjem zaradi lažje konstrukcije in bi imeli širše merilno območje. Lahko bi ocenili izgube zaradi nihanja po izstrelitvi iz mase ter frekvence in amplutide nihanja.

• Avtomobilček

  Energetske izgube so pri tem poskusu zaradi zračnega upora, trenja in elastike same. Vpliv trenja smo zmanjšali tako, da smo nagnili desko tako, da je avtomobilček (brez elastike) potoval po njej čim bolj enakomerno. Razlike med meritvami je deloma povzročal položaj koles v utorih. Ko je bil zamik velik (oz. katero kolo sploh ni bilo v utoru), se je to videlo v veliko manjši maksimalni hitrosti. Teh meritev zato nismo upoštevali pri končnem izračunu. Merilec hitrosti morda ni ves čas meril iste točke, a je bilo opazno, če je preskočil za kakšen centimeter, saj je bil odvod zelo velik, kar se je videlo kot špica na grafu hitrosti. Tudi teh meritev nismo upoštevali. Pomislili smo tudi, da se elastike morda ne krčijo dovolj hitro, zato smo meritve za dvojno pleteno elastiko ponovili tudi pri manjši masi (pri kateri je bil eksperiment težje obvladljiv). Namesto spuščanja z roko bi lahko nastavili mehanizem, ki bi to vsakič storil enako.

• Silomer

  Pri silomeru je največjo negotovost predstavljalo odčitavanje podatkov iz videoposnetka. Lahko bi zmanjšali negotovost tudi z večimi ponovitvami in če bi odčitavanje na istem posnetku ponovili večkrat. Rezultat neposrednega merjenja raztezka v odvisnosti od sile bi lahko bolj natančno izpeljali tudi z računalniškim merjenjem. Namestno metra bi lahko uporabili laserski merilnik razdalje, hkrati pa bi lahko z električnim silomerom merili s kakšno silo deluje elastika nanj - tako bi imeli izredno natančne podatke brez izgub in zapletenih izračunov.