Teorija

A) kava prefiltrirana na robčkih:

Kavo smo skuhali v posodi in jo v različnih časovnih intervalih prefiltrirali skozi papirnat robček. Prefiltrirali smo tisti del, ki je še vseboval veliko vode. Usedlino, ki se je v merjenem času že posedla, pa smo pustili v posodi. Ker smo pri vsaki meritvi čakali dlje časa ( preden smo kavo prefiltrirali skozi robček ), je bilo pričakovano, da bo robček s filtratom kave, pri katerem smo čakali dlje časa lažji, od tistega ki smo ga precedili po krajšem časovnem obdobju.

Naša predvidevanja so se izkazala za resnična. Ker imajo kavna zrnca večjo gostoto od gostote vode, se ta zaradi gravitacijske sile začnejo usedati.

Na kavna zrna deluje navpično navzdol sila teže mg in vzgon m' g navpično navzgor.

g…gravitacijski pospešek
m…masa kavnega zrna
m'…masa vode,ki jo izpodrine kavno zrno

Vsota vseh sil, ki delujejo na kavna zrna, kaže v smeri proti tlom, ker je mg>m'g. Silo, ki deluje na kavna zrna v vodi lahko opišemo z enačbo :

To je samo prvi del razmišljanja, kako bi se gibalo kavno zrno v vodi, brez upoštevanja mnogih parametrov. Kljub temu, da je meritev lahko izvedljiva in nezahtevna, je dala dober oris obnašanja delcev v kavi.

B)merjenje svetlobnega toka v odvisnosti od časa:

Glavni namen izvedenega poskusa je bila določitev časa, pri katerem se večina delcev v sveže skuhani turški kavi posede na dno. Matematični opis procesa posedanja kavnih delcev v odvisnosti od časa oziroma spreminjanje koncentracije delcev na določeni višini ni ravno trivialen problem, delci kave so namreč različnih velikosti in mas, poleg večjih delcev so v raztopini vode in kave tudi barvila, itd.

Lahko pa se opremo na približek, s katerim opišemo koncentracijo delcev v odvisnosti od višine nad usedlino, to je t. i. Mason-Weaverjeva enačba, ki ima za rešitev v ravnovesnem stanju naslednji izraz:

B je konstanta, izračunana iz količine snovi, ki jo opazujemo pri usedanju (in kopice drugih parametrov), m označuje maso delca, kB Boltzmannovo konstanto, h višino, T temperaturo raztopine.

V trenutku, ko kavo ulijemo v posodo, je gostota kavnih delcev konstantna po celotni višini posode, s časom pa se začne približno približevati zgoraj opisani distribuciji (velja za kavo nad usedlino, na površini usedline je koncentracija najvišja). Smiselno je torej sklepati, da se bo prepustnost svetlobnega toka skozi merjenec po določenem času praktično ustalila na neki vrednosti, odvisni od višine merjenja.

Porazdelitev po višini je seveda zanimiv podatek, toda bolj bi bili veseli, če bi lahko določili odvisnost koncentracije od časa na določeni višini, saj smo podobno zvezo neposredno merili s fotodetektorjem. Na srečo nam odgovor na to da spet diferencialna Mason-Weaverjeva enačba, rešena za odvisnost koncentracije od višine in časa. Rešitev se v grobem glasi:

τ in δ predstavljata brezdimenzijska koeficienta, (t0 je začetni čas, h0 je višina posode). Mason-Weaverjeva enačba je parcialna diferencialna enačba drugega reda, rešljiva z razcepom na dve enostavnejši diferencialni enačbi, iz katerih lahko dobimo časovno ter krajevno odvisnost koncentracije. Rešitev ene je trivialna, druga pa zahteva naprednejše prijeme, ki nas ne zanimajo. Ck je konstantni koeficient (izračunan iz začetnih pogojev), βk so lastne vrednosti, Pk pa je množica ortonormiranih lastnih funkcij, ki ustrezajo zapletenejši izmed dveh diferencialnih enačb.

Podrobnejša analiza nas ne mika, pomembna informacija je le, da koncentracija topljenca s časom na določeni višini eksponentno pada (ne pa na vsaki višini enako). Tako sklepamo, da bo propustnost svetlobnega toka tudi eksponentno naraščala in se po dolgem času ustalila na vrednosti, ki je določena z zgoraj opisano distribucijo po višini posode.