Prenos toplote preko toplotnega toka
Model, prikazuje dimenzije kocke in toplotne tokove, ki so prisotni pri taljenju ledu.
Na primeru taljenja ledene kocke 1 v drugi posodi, smo spomočjo spodnjega modela pokazali, kateri procesi so dominantni pri taljenju ledu.
S pomočjo programa mathematica smo izmerjenim podatkom o spreminjanju temperature vode priredili kvadratno funkcijo, ki se je glede na meritve najbolje prilegala: $${T_{vode}}(t)=T_{1}+T_{2}t+T_{3}t^2 \label{eq:2}$$ $$T_{1}=19.472\,^{\circ}{\rm C}, T_{2}=-0.00987\frac{\,^{\circ}{\rm C}}{s} , T_{3}=0.0000135 \frac{\,^{\circ}{\rm C}}{s^2}$$ Podatke, spreminjanja dimenzij kocke smo odčitali iz videoposnetka s pomočjo porgrama Loggerpro. Pridobljeni podatki, so prikazani spodaj.
Model, ki opisuje spreminjanje širine s časom: $${a}(t)=a_{1}+a_{2}t+a_{3}t^2 \label{eq:3}$$ $$a_{1}=0.0234 m, a_{2}=-0.000137 \frac{m}{s}, a_{3}=2.668 *10^-7 \frac{m}{s^2}$$
Model, ki opisuje spreminjanje višine s časom: $${c}(t)=c_{1}+c_{2}t+c_{3}t^2 \label{eq:4}$$ $$c_{1}=0.00950 m, c_{2}=-0.0000339 \frac{m}{s}, c_{3}=1.119 *10^-7 \frac{m}{s^2}$$ Z sledečimi enačbami opišemo, kako se s časom spreminjajo dimenzije kocke ledu: $${S_1}(t) = a(t)\thinspace c(t) \qquad {S_2}(t) = a(t)^2$$
Definiramo toplotne tokove, ki tejčejo v posodo in ledeno kocko: $${P_{1}}(t)=-\lambda_{l}\,S_1(t)\,\frac{T_{l}-T_{v}(t)}{a(t)}$$ $${P_{2}}(t)=-\lambda_{l}\,S_2(t)\,\frac{T_{l}-T_{v}(t)}{c(t)}$$ $${P_{zrak-led}}(t)=-\lambda_{l}\,S_2(t)\,\frac{T_{l}-T_{z}}{c(t)}$$ $${P_{zrak-posoda-led}}(t)=-S_{s}\,\frac{T_{v}(t)-T_{z}}{\frac{\lambda_{s}}{d}+\frac{\lambda_{v}}{2r}}$$ $${P_{zrak-posoda}}(t)=-\lambda_{v}\,S_{vg}\,\frac{T_{v}(t)-T_{z}}{h}$$ Pri čemer je toplotna prevodnost ledu $\lambda_{l} = 2.2 \frac{W}{mK}$, toplotna prevodnost stekla je $\lambda_{s} = 0.93 \frac{W}{mK}$,toplotna prevodnost vode $\lambda_{v} = 0.57 \frac{W}{mK}$, $d$ debelina stekla, $h$ višina vode, $2r$ premer posode, $T_{l}=-15\,^{\circ}{\rm C}$ je temeratura ledu, $T_{v}(t)$ je temperatura vode v odvisnosti od časa, $T_{z}=21.08\,^{\circ}{\rm C}$ temeratura zraka, $S_{s}=0.010 m^2$ površina stekla, ki obdajo vodo, $S_{vg}=0.011m^2$ pa površina vodne gladine.
Celoten toplotni tok, ki ga prejme kocka ledu je: $${P_l}(t)= 4{P_{1}}(t)+{P_{2}}(t)+{P_{zrak-led}}(t)$$ Toplota, ki jo prejme kocka ledu zradi toplotnega toka, tekom taljenja je enak integralu toplotnega toka po času: $$Q_{led-P_l(t)}= \int_{0}^{t_{0}}P_l(t)dt$$ $t_{0}$ je čas taljenja kocke ledu. Toplota, ki pa jo prejme voda, zaradi toplotnega toka, med okolico in posodo je enaka: $$Q_{vode-P_v(t)}= \int_{0}^{t_{0}}P_v(t)dt$$ pri čemer je $${P_v}(t)= {P_{zrak-posoda-led}}(t)+ {P_{zrak-posoda}}(t)$$ Toplota, ki a se porabi pri taljenju kocke ledu in segrevanju do končne temperature vode, je enaka: $$Q_{led-porabljena}=m_{l}c_{v}(0\,^{\circ}{\rm C}-T_{l}) + m_{l}q_{t} + m_{l}c_{v}T_{k}$$ Pri čemer je, $m_{l}$ masa ledene kocke, $c_{p}$ specifična toplota vode, $q_{t}$ specifična talilna toplota vode, ki je enaka 333 $\frac{kJ}{kg}$ in $T_{k}$ temperatura vode ko se ves led stali. Za posamezne stranice $S_1$ in $S_2$, kocke ledu lahko definiramo toplotno sevanje, ki je razlika med oddanim in prejetim toplotnim sevanjem: $${P_{led-2-zrak}}(t)=\sigma e_{ledu}S_2(t)(T_{l}^4-T_{z}^4)$$ $${P_{led-1}}(t)=\sigma e_{ledu}S_1(t)(T_{l}^4-T_{v}(t)^4)$$ $${P_{led-2}}(t)=\sigma e_{ledu}S_2(t)(T_{l}^4-T_{v}(t)^4)$$ Celotno toplotno sevanje, ki ga prejme kocka je enako: $${P_{s-prejeta-led}}(t)= 4{P_{led-1}}(t)+{P_{led-2}}(t)+{P_{led-2-zrak}}(t)$$ Toplota, ki jo prejme kocka ledu zradi toplotnega sevanja, tekom taljenja je enak integralu toplotnega toka po času: $$Q_{s-prejeta-led}= \int_{0}^{t_{0}}P_{s-prejeta-led}(t)dt$$ Toplotno sevanje, ki je razlika med prejetim in oddanim toplotnim sevanjem, ki ga prejme voda je enako: $${P_{s-prejeta-voda}}(t)=\sigma e_{vode}(S_{s}+S_{vg})(T_{vode}(t)^4-T_{z}^4)$$ Prejeta toplota pa: $$Q_{s-prejeta-voda}= \int_{0}^{t_{0}}P_{s-prejeta-voda}(t)dt$$ Pri čemer je emisivnost vode enaka 0.963 emisivnost gladkega ledu pa 0.966.