NAPOLNIMO ČAŠE

TEORIJA

Za ugotavljanje, če so meritve pri eksperimentu prave, potrebujemo teoretično poznavanje eksperimenta in nekakšen vpogled, kako naj bi meritve izgledale.

Začnemo z enačbo

,

kjer je sprememba prostornine, površina gladine na trenutni višini posode in sprememba višine. Naše posode imajo vse tako obliko, da je površina gladine vedno okrogle oblike. Zato za vse posode lahko zapišemo enačbo površine

,

kjer je radij površine in konstantno število pi.

Radij površine se pri posamezni posodi drugače spreminja v odvisnosti od višine posode. Zato bomo označili spreminjanje radija kot funkcijo v odvisnosti od višine posode:

Če to vstavimo v zgornjo enačbo za površino in vse vstavimo v prvo enačbo spremembe volumna, dobimo:

Enačbo nato delimo s spremembo časa :

Spomnimo se, da je pretok () ravno sprememba volumna v nekem časovnem intervalu: . To upoštevamo pri zgornji enačbi in celotno enačbo pomnožimo z ter dobimo:

Upoštevamo, da je pretok konstanten in integriramo zgornjo enačbo:

V zgornji enačbi je čas, ki poteče od začetka eksperimenta, in višina vodne gladine po času .

ČAŠA

Za čašo velja, da se radij površine ne spreminja. Zato je naš radij konstanten oz. funkcija je konstantna in enaka . Zato jo lahko nesemo pred integral:

Po integraciji dobimo enačbo

,

iz katere izrazimo višino gladine in dobimo funkcijo višine v odvisnosti od časa :

To funkcijo smo uporabili za preverjanje meritev pri eksperimentu.

ERLENMAJERICA

Ker je erlenmajerica stožaste oblike, se radij površine spreminja linearno z višino gladine. Zato lahko zapišemo zvezo med radijem in višino z naslednjo enačbo:

V zgornji enačbi je trenutna višina posode, radij dna erlenmajerice in kvocient med razliko radijem vrata erlenmajerice in radijem dna erlenmajerice ter dolžino od dna do začetka vrata erlenmajerice :

Enačbo za radij vstavimo pod integral in dobimo:

Ko zgornjo enačbo integriramo dobimo:

Iz te enačbe je težje izraziti višino , zato smo si pomagali s programom Mathematica in sicer s funkcijo Solve. Dobimo naslednje izražave višine s časom:

Ker je samo realna funkcija, smo jo izbrali za funkcijo za preverjanje meritev pri eksprimentu.

BUČKA

Za bučko je malo težje izraziti radij, saj je okrogle oblike. Zato si predstavljamo, da bučko razrežemo po sredini in zapišemo enačbo krožnice v odvisnosti od trenutne višine posode in radija gladine:

V zgornji enačbi je trenutna višina posode, radij gladine in radij bučke. Iz enačbe izrazimo radij gladine:

Tako dobimo, da se radij gladine spreminja s funkcijo .

Zgornjo funkcijo vstavimo pod integral in dobimo:

Po integraciji dobimo enačbo

,

iz katere je težko izraziti višino . Tudi tu si pomagamo s programom Mathematica in sicer s funkcijo Solve. Dobimo naslednje izražave:

V zgornjih funkcijah so zdaj čas, ki je potekel od začetka eksperimenta, radij bučke in pretok. Ker je samo realna funkcija, smo jo izbrali za funkcijo za preverjanje meritev pri eksprimentu.