NAPOLNIMO ČAŠE


TEORIJA

Za ugotavljanje, če so meritve pri eksperimentu prave, potrebujemo teoretično poznavanje eksperimenta in nekakšen vpogled, kako naj bi meritve izgledale.

Začnemo z enačbo

sprememba volumna,

kjer je volumen sprememba prostornine, volumen površina gladine na trenutni višini posode in volumen sprememba višine. Naše posode imajo vse tako obliko, da je površina gladine vedno okrogle oblike. Zato za vse posode lahko zapišemo enačbo površine

enačba površine,

kjer je radij radij površine in pi konstantno število pi.

Radij površine se pri posamezni posodi drugače spreminja v odvisnosti od višine posode. Zato bomo označili spreminjanje radija kot funkcijo v odvisnosti od višine posode:

funkcija v odvisnosti od višine

Če to vstavimo v zgornjo enačbo za površino in vse vstavimo v prvo enačbo spremembe volumna, dobimo:

sprememba volumna 2

Enačbo nato delimo s spremembo časa sprememba časa:

sprememba volumna 3

Spomnimo se, da je pretok (pretok) ravno sprememba volumna v nekem časovnem intervalu: enačba pretoka. To upoštevamo pri zgornji enačbi in celotno enačbo pomnožimo z sprememba časa ter dobimo:

sprememba volumna 4

Upoštevamo, da je pretok konstanten in integriramo zgornjo enačbo:

sprememba volumna 5

V zgornji enačbi je trenutni čas čas, ki poteče od začetka eksperimenta, in trenutna visina gladine višina vodne gladine po času trenutni čas.

ČAŠA

Za čašo velja, da se radij površine ne spreminja. Zato je naš radij radij konstanten oz. funkcija funkcija je konstantna in enaka radij. Zato jo lahko nesemo pred integral:

sprememba volumna 6

Po integraciji dobimo enačbo

sprememba volumna 6,

iz katere izrazimo višino gladine trenutna visina gladine in dobimo funkcijo višine v odvisnosti od časa trenutni čas:

funkcija višine v odvisnosti od časa

To funkcijo smo uporabili za preverjanje meritev pri eksperimentu.

ERLENMAJERICA

Ker je erlenmajerica stožaste oblike, se radij površine spreminja linearno z višino gladine. Zato lahko zapišemo zvezo med radijem in višino z naslednjo enačbo:

sprememba radija

V zgornji enačbi je visina trenutna višina posode, prosti člen radij dna erlenmajerice radij dna in vodilni koeficient kvocient med razliko radijem vrata erlenmajerice radij vrata in radijem dna erlenmajerice ter dolžino od dna do začetka vrata erlenmajerice dolžina med dnom in začetkom vrata: kvocient

Enačbo za radij vstavimo pod integral in dobimo:

sprememba volumna 6

Ko zgornjo enačbo integriramo dobimo:

sprememba volumna 7

Iz te enačbe je težje izraziti višino višina, zato smo si pomagali s programom Mathematica in sicer s funkcijo Solve. Dobimo naslednje izražave višine s časom:

realna rešitev

prva kompleksna rešitev

druga kompleksna rešitev

Ker je samo realna rešitev realna funkcija, smo jo izbrali za funkcijo za preverjanje meritev pri eksprimentu.

BUČKA

Za bučko je malo težje izraziti radij, saj je okrogle oblike. Zato si predstavljamo, da bučko razrežemo po sredini in zapišemo enačbo krožnice v odvisnosti od trenutne višine posode in radija gladine:

enačba krožnice

V zgornji enačbi je visina trenutna višina posode, radij radij gladine in radij bučke radij bučke. Iz enačbe izrazimo radij gladine:

izpeljava

Tako dobimo, da se radij gladine spreminja s funkcijo funkcija radija.

Zgornjo funkcijo vstavimo pod integral in dobimo:

sprememba volumna 6

Po integraciji dobimo enačbo

sprememba volumna 7,

iz katere je težko izraziti višino višina. Tudi tu si pomagamo s programom Mathematica in sicer s funkcijo Solve. Dobimo naslednje izražave:

realna rešitev

prva kompleksna rešitev

druga kompleksna rešitev

V zgornjih funkcijah so zdaj čas čas, ki je potekel od začetka eksperimenta, radij radij bučke in pretok pretok. Ker je samo prva funkcija realna funkcija, smo jo izbrali za funkcijo za preverjanje meritev pri eksprimentu.