Kratek opis

Nihalo je telo, ki se periodično giblje iz ene skrajne lege v drugo. Tako gibanje najlažje opišemo z dvema parametroma, amplitudo in frekvenco, pri čemer je amplituda odvisna od začetnih pogojev, frekvenca pa je specifična za določeno nihalo. Tako je npr. frekvenca nitnega nihala odvisna od dolžine niti in gravitacijskega pospeška, frekvenca vzmetnega nihala pa od koeficienta vzmeti in mase uteži. Če si ogledamo vsoto sil, ki delujejo na nihalo, opazimo, da raste s tem, ko večamo odmik od mirovne lege in je usmerjena proti mirovni legi. Na podlagi tega lahko rečemo, da je pospešek oziroma pojemek največji v skrajnih legah, v mirovni legi pa je enak 0. Če opazujemo hitrost, ugotovimo, da je ta enaka 0 v skrajnih legah, ter maksimalna v mirovni legi.

V primeru nitnega nihala ima vpliv le težnostna sila. Tako nihalo lahko damo v enakomerno pospešen sistem, kjer je gibanje nihala vzporedno s pospeškom. Ker je smer sile zaradi pospeška konstantna in neodvisna od nihala, bo ta v eno smer pospeševala nihalo in ga v drugo zavirala. Če opazujemo tako gibanje, vidimo, da skrajni legi nista več simetrični na mirovno lego nihala v nepospešenem sistemu. Na podlagi tega lahko rečemo, da se spremeni mirovna lega. Poleg tega se spremeni tudi frekvenca gibanja. Tak sistem lahko opišemo enako kot preprosto nitno nihalo, le, da namesto gravitacijskega pospeška vzamemo razdaljo vsote vektorja gravitacijskega pospeška in pospeška samega gibanja sistema.

Nihalo lahko damo tudi v sistem, kjer gibanje ni več enakomerno pospešeno. Pri tem se smer sile zaradi pospeška spreminja in lahko pospešuje ali zavira nihalo neodvisno od njegove pozicije. Tak sistem je lahko vzmetno nihalo, ki je pripeto na vzmetno nihalo. Opis takega gibanja pa je veliko bolj zahteven, saj je efekt sile neenakomerno pospešenega sistema odvisen od pozicije opazovanega nihala ter samega pospeška. V takem sistemu je moč opaziti pojave kot je na primer utripanje.

1. Nihanje, enačbe nihanja

• Enačbi nihanja za sklopljeno nihanje (2 vzmeti):

$$ \ddot{x_1} + \frac{k_1}{m_1} x_1 + \frac{k_2}{m_2} (x_1 - x_2) = 0, \textit{(1)}$$ $$ \ddot{x_2} - \frac{k_2}{m_2} (x_1 - x_2) = 0. \textit{(2)}$$

• Enačbi nihanja za sklopljeno nihanje (2 niti):

$$ \ddot{\phi_1} + \frac{m_2}{m_1+m_2} \frac{l_2}{l_1} \ddot{\phi_2}+\frac{g}{l_1}\phi_1 = 0 , \textit{(3)}$$ $$ \ddot{\phi_2} + \frac{m_2}{m_1+m_2} \frac{l_2}{l_1} \ddot{\phi_1}+\frac{g}{l_1}\phi_2 = 0. \textit{(4)}$$

• Enačba nihanja za voziček

$$ \ddot{\phi} (t) + \frac{a+g}{l} \phi (t) - \frac{a \pi}{2l} = 0. \textit{(5)}$$

Enačbe \( \textit{(1)} - \textit{(4)} \) se navezujejo na prvi eksperiment, \( \textit{(5)} \) pa na drugega.

2. Rešitve, enačbe za pospešek

V splošnem diferencialne enačbe nihanja rešijo kombinacije eksponentnih funkcij ali kombinacije sinusov in kosinusov

$$ x(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} \textit{(6), (7)}$$

Rešitev za voziček:

$$ \phi (t) = \frac{a \pi}{2(g+a)} + C cos(\sqrt{\frac{g+a}{l}}t). \textit{(8)}$$ Za voziček pa smo lahko brez težav dobili rešitev.

Viri
Fay, T., Graham, S. (2002, 12. Sept.). Coupled spring equations, 1-5.