Teorija

KOTALJENJE KROGLICE

Enakomerno kotaljenje je posebna oblika enakomernega kroženja. Točka na obodu hkrati kroži in se premo giblje, saj je kotaljenje sestavljeno iz kroženja (rotacije) in premega gibanja (translacije).

Idealna translacija

Za idealno translacijo oz. drsenje velja, da je obodna hitrost enaka hitrosti težišča in hitrosti vsake obodne točke. Kotna hitrost je pri tem enaka nič. Ker se v tem primeru kroglica ne vrti, se vsaka točka na kroglici giblje z enako hitrostjo kot težišče kroglice.

Slika 2: Hitrosti in smer gibanja obodnje in težiščne točke med idealno translacijo

Idealna rotacija

Da lahko opazujemo idealno rotacijo med kotaljenjem kroglice, moramo koordinatni sistem postaviti v težišče kroglice. Tako dobimo nov gibajoč se neinercialni sistem. Točka na obodu glede na težišče kroži in zato ima vsaka obodna točka enako kotno hitrost.

Slika 3: Hitrost in smer gibanja obodne in težiščne točke med idealno rotacijo

Idealno kotaljenje brez spodrsavanja

Za lažji opis kotaljenja brez spodrsavanja obravnavamo gibanje treh točk na kroglici:

Slika 4: Hitrost in smer gibanja obodne in težiščne točke med idealnim kotaljenjem

V točki P se seštevata hitrost translacijskega gibanja in obodna hitrost rotacijskega gibanja. Hitrosti sta enake velikosti in nasprotne usmerjenosti, zato je hitrost točke P enaka nič. Torej točka, ki je na stičišču kroglice in podlage med kotaljenjem brez spodrsavanja miruje.

V točki P' sta hitrost translacijskega gibanja in obodna hitrost rotacijskega gibanja enaki po velikosti in usmeritvi, zato velja:

Točka CM se giblje premo in ne kroži. Če kroglica pri kotaljenju ne spodrsava, velja da je obodna hitrost enaka hitrosti gibanja težišča, točka na stičišču kroglice in podlage miruje ter točka na razdalji 2r od podlage se giblje z dvojno hitrostjo gibanja (Rolling motion of a rigid object, b. d.)

SILE MED IDEALNIM KOTALJENJEM PO KLACNU NAVZDOL

V primeru kotaljenja kroglice brez spodrsavanja po klancu navzdol se točka na obodu kroglice giblje s pospeškom, ki je enak produktu polmera in kotnega pospeška kroglice. Po 2. Newtonov zakonu je vsota vseh sil, ki delujejo na kroglico:

pri čemer je at pospešek težišča, kot fi naklon klanca, po katerem se kroglica kotali, F pa je sila, ki deluje na kroglico in ima vrtilni moment:

Če združimo zadnji dve enačbi in upoštevamo vztrajnostni moment polne krogle glede na os skozi njeno središče, dobimo izraz za pospešek težišča kroglice:

Pospešek kotaljenja kroglice po strmini je za faktor 5/7 manjši od pospeška drsenja. To pojasnimo s tem, da se kroglica med kotaljenjem vrti okrog svojega težišča. Večjemu naklonu strmine ustreza večji pospešek kotaljenja in s tem večji kotni pospešek kroglice. V enakem razmerju se mora povečevati sila , ki vrti kroglico (Kladnik, 1969). Vrednost te sile je navzgor omejena; največja možna vrednost sile je sila lepenja.

Kroglica se po strmini kotali brez drsenja le, če je sila lepenja vsaj tolikšna, kot sila, ki vrti kroglico.

KOTALJENJE S SPODRSAVANJEM

V primeru, da kroglica po strmini nekoliko spodrsuje, njena hitrost ni zgolj enaka produktu radija in kotne hitrosti.

Če je naklonski kot strmine večji, kot ga pripisuje zgornja enačba, se kroglica ne giblje več s čistim kotaljenjem, ampak spodrsuje. Sila, ki vrti kroglico, je v tem primeru enaka sili trenja

Pospešek kroglice je v tem primeru enak pospešku težišča, ki je enak pospešku v primeru drsenja kroglice po klancu navzdol (Kladnik, 1969). Kotni pospešek kroglice pa je

ENERGIJE MED KOTALJENJEM KROGLICE PO KLANCU

Med idealnim kotaljenjem kroglice po klancu navzdol se potencialna energija spreminja v rotacijsko in kinetično energijo. Po zakonu o ohranitvi energij velja:

in ker za idealno kotaljenje velja, da je produkt polmera in kotne hitrosti kar enak hitrosti kroglice, dobimo enačbo:

Če pa se kroglica po klancu kotali s spodrsavanjem, pa zgornje enačbe več ne veljajo, saj na območju, kjer nastopi idealna translacija, ni rotacijske energije.

V našem primeru opazujemo kotaljenje kroglice po klancu navzgor. Pri tem se seveda, ravno obratno, rotacijska in kinetična energija pretvarjata v potencialno. Za idealen sistem, kjer energijskih izgub ni, lahko torej izrazimo doseženo višino z začetnimi pogoji.

Tako se izkaže, da (v idealnih pogojih) masa in polmer kroglice ne vplivata na doseženo višino, vendar to želimo dokazati z opazovanjem eksperimenta.

​