Magnetno zaviranje na klancu

Rezultate eksperimenta smo ob koncu projektnega dela Magnetno zaviranje na klancu poskušali pojasniti z matematičnim modelom.

Na podlagi teoretskega znanja, ki smo ga dobili s študijem fizike ter izkustvenega znanja, pridobljenega ob pripravi in izvajanju eksperimenta, smo v skupini menili, da je razlog za magnetno zaviranje vozička na klancu v vrtinčnem toku.

Vrtinčni tok so zanke električnega toka, inducirane v prevodniku zaradi spreminjajočega se magnetnega polja. Pred magnetom se, v smeri njegovega gibanja po prevodniku, gostota magnetnega polja magneta povečuje. To povzroči indukcijo vrtinčnega toka.
Za magnetom, v nasprotni smeri gibanja magneta, pa se gostota magnetnega polja magneta zmanjšuje. To spet povzroči indukcijo vrtinčnega toka, a v nasprotni smeri kot teče prvi vrtinčni tok.

Gre za posledico Faradayevega  zakona  o indukciji.
Vrtinčni tok pa ustvarja svoje magnetno polje, ki nasprotuje spreminjanju začetnega magnetnega polja premikajočega se magneta, ki je povzročil nastanek vrtinčnega toka. To pojasnjuje Lenzov zakon.
Zaradi tega nasprotovanja spreminjanju magnetnega polja (spreminja se zaradi premikanja vozička), nastane sila, ki deluje v nasprotni smeri premikanja vozička.

Slika št. 10: Prikaz vrtinčnega toka

N - magnet
B (zelena barva) -  začetno magnetno polje magneta
I  (rdeča barva) - zanke vrtinčnega toka
C – prevodnik, ki se premika 
V - smer premikanja prevodnika
puščice (modra barva) – magnetno polje, ki ga ustvari vrtinčni tok, ki nasprotuje spreminjanju začetnega magnetnega polja premikajočega se magneta 

Poleg vrtinčnega toka pa na premikanje vozička po klancu vplivajo tudi sila gravitacije ter sila trenja.

Slika št. 11: Prikaz delovanja sil na voziček

V eksperimentih smo uporabili različne postavitve magnetov na vozičku. Za lažjo predstavo smo izdelali enostavno sliko, ki kaže te različne postavitve.

Slika št. 12: Prikaz različnih postavitev magnetov na vozičku (magneti so bili vedno postavljeni zaporedno torej v eni vrsti)
1 - 1 magnet tik ob vozičku
2 - 2 magneta tik ob vozičku
3 - 3 magneti tik ob vozičku
4 - 4 magneti tik ob vozičku
5 - 2 magneta, postavljena drug na drugem
6 - 2 krat po 2 magneta, postavljena drug na drugem
7 - 4 magneti, postavljeni drug na drugem
8 - 1 magnet, s plastiko smo simulirali razdaljo 3 magnetov od vozička
Sivi kvadratki – magneti
Rdeča barva - voziček

Enačba matematičnega modela

φ – kot klanca
t – čas
x –pozicija
τ – širina prevodnika
m –masa prevodnika
ρ – upornost
B –magnetno polje
A – površina magneta

Primerjava matematičnega modela z meritvami

 Da bi lahko ovrednotili matematični model, smo ga želeli primerjati z meritvami oziroma rezultati eksperimenta. Vse meritve prikazuje graf št. 12.

Slika št. 13: Graf – primerjava hitrosti in pozicije vozička pri določenih parametrih in kotu 0.86°
rdeča krivulja – voziček brez magnetov
modra krivulja – 1 magnet tik ob vozičku
rjava krivulja – 4 magneti tik ob vozičku
oranžna krivulja – 2 magneta, postavljena drug na drugem
zelena krivulja – 2 magneta tik ob vozičku
vijolična krivulja – 3 magneti tik ob vozičku
temno zelena krivulja – 2 krat po 2 magneta, postavljena drug na drugem

Naslednji korak je bila izdelava grafov, ki prikazujejo matematični model ter meritve. S tem bi bila primerjava najboljša. Uporabili smo program GnuPLot, s katerim smo meritve prilagodili (v nadaljevanju fitali) in s tem dobili realne koeficiente. Z njimi smo lahko izdelali grafične prikaze primerjav za posamezne meritve.

Slika št. 14: Graf – prilagoditev (fit) krivulje meritvam pri vozičku brez magnetov (rdeča krivulja na sliki št. 13)

V matematičnem modelu imamo dva poglavitna koeficienta: k in C. Koeficient k vsebuje parameter gostote magnetnega polja B. V primeru, ko na vozičku ni pritrjenih magnetov, je vrednost k = 0. Da bi dobili končno enačbo vozička brez magnetov, smo uporabili L'Hôpitalovo pravilo.

Tako smo dobili koeficient C, katerega vrednost je 0.06906.
Z dobljenim koeficientom C smo nato želeli pogledati, kako bi s fitanjem koeficienta k matematični model primerjali z meritvami. Za primerjavo smo izrisali tri grafe:
- fit meritev pri vozičku z enim magnetom (modra krivulja na sliki št. 13);
- fit meritev pri vozičku z dvema magnetoma tik ob vozičku (zelena krivulja na sliki št. 13);
- fit meritev pri vozičku s tremi magneti tik ob vozičku (vijolična krivulja na sliki št. 13).

Slika št. 15: Graf – prilagoditev (fit) krivulje meritvam pri vozičku z enim magnetom, z vrednostjo k₁ = 0.07595 (modra krivulja na sliki št. 13)

Slika št. 16: Graf – prilagoditev (fit) krivulje meritvam pri vozičku z dvema magnetoma tik ob vozičku, z vrednostjo k₂ =  0.1294 (zelena krivulja na sliki št. 13)

Slika št. 17: Graf – prilagoditev (fit) krivulje meritvam pri vozičku s tremi magneti tik ob vozičku z vrednostjo k₃ = 0.1948 (vijolična krivulja na sliki št. 13)
Izrisani grafi so pokazali, da se matematični model lepo prilega meritvam. Sklepali smo lahko, da sta zaradi tega ujemanja, matematični model ter njegov izračun verjetno pravilna. S tem smo dosegli prvotni cilj, ki je bil potrditi ali ovreči matematični model.

Koeficient k v matematičnem modelu

V matematičnem modelu sta dve konstanti: C in k. Konstanta C je povsem jasna, v zvezi z konstanto k pa se nam je porodilo nekaj vprašanj, o katerih razmišljamo v nadaljevanju.
Pri fitanju smo opazovali koeficient k, ko gre za voziček z enim magnetom (modra krivulja na sliki št. 12), z dvema magnetoma tik ob vozičku (zelena krivulja na sliki št. 12) ter s tremi magneti tik ob vozičku (vijolična krivulja na sliki št. 12). Dobili smo naslednje vrednosti koeficienta k:
- 1 magnet tik ob vozičku, k₁ = 0.07595,
- 2 magneta tik ob vozičku, k₂ = 0.1294,
- 3 magneti tik ob vozičku, k₃ = 0.1948.
Ugotovili smo, da našteti koeficienti približno izkazujejo nek vzorec, saj je k₂= 2k₁, k₃=3k₁ ter k₃=(3/2)k₂ (tukaj bi morali bit znaki za približno enako). Zaradi te ugotovitve smo naredili povprečje k₁, k₂ in k_3.

To povprečje znaša k = 0.07103. Nato smo grafe še enkrat izrisali z novo vrednostjo k = 0.07103 ter k₁ = k, k₂ = 2k in k₃ = 3.

Slika št. 18: Graf – primerjava meritev in matematičnega modela s povprečno vrednostjo k₁ = 0.07103 (voziček z enim magnetom - modra krivulja na sliki št. 13)

Slika št. 19: Graf – primerjava meritev in matematičnega modela s povprečno vrednostjo
k₂ = 2*0.07103 = 0.14206 (voziček z dvema magnetoma tik ob vozičku - zelena krivulja na sliki št. 13)

Slika št. 20: Graf – primerjava meritev in matematičnega modela s povprečno vrednostjo k₃ = 3*0.07103 = 0.21309 (voziček s tremi magneti tik ob vozičku – vijolična krivulja na sliki št. 13)

Veliko boljši pokazatelj, da so meritve izkazovale nek vzorec, je primerjava povprečnega k s k₁, k₂/2 in k₃/3. To smo poskušali prikazati na naslednjem grafu.

Slika št. 21: Graf – prikaz posameznih vrednosti k₁, k₂ in k₃ ter premice n*k
premica vijolične barve -  n*k
premica zelene barve - n*(k+deviacija)
premica modre barve – n*(k-deviacija)
rumeni kvadratki – fitane vrednosti k (k₁, k₂ in k₃)
rumeni repi kvadratkov – napake fitanih vrednosti k (k₁, k₂ in k₃)

Pri fitanju je program poleg vrednosti izračunal tudi napako vrednosti k in sicer:
k₁ =  0.07595  ± 0.001125        
k₂ =  0.1294   ± 0.00204       
k₃ =  0.1948   ± 0.0032178       

Vrednost deviacije je 0.004.
Za izračun povprečja k smo uporabili le tri fitane vrednosti k. Zato je deviacija povprečja pomemben faktor in dodali smo jo na grafu kot dve premici (zelena in modra barva premice).
V grafu je razvidno, da se intervali fitanih k (k₁, k₂ in k₃)  in deviacij ± ne pokrivajo najbolje.
Poleg teh napak, ki jih je izračunal program, so bile v eksperimentih narejene še napake pri merjenju. Odločili smo se, da bi naredili še en graf, kjer bi upoštevali napake meritev na vrednost fitanih k (k₁, k₂ in k₃).

Slika št. 22: Graf – prikaz posameznih vrednosti k₁, k₂ in k₃ ter premice n*k, z upoštevanimi napakami meritev
premica vijolične barve -  n*k
premica zelene barve - n*(k+deviacija)
premica modre barve – n*(k-deviacija)
rumeni kvadratki – fitane vrednosti k (k₁, k₂ in k₃)
rumeni repi kvadratkov – napake fitanih vrednosti k (k₁, k₂ in k₃), z upoštevanimi napakami meritev

Napake fitanih vrednosti k (k₁, k₂ in k₃) z napakami meritev:
k₁ = 0.07595  ± 0.012517        
k₂ =  0.1294  ± 0.0214566      
k₃ =  0.1948  ± 0.03244 
Vrednost deviacije je 0.004
Za napake meritev smo uporabili ocenjeno vrednost napak v poglavju Napake (projektna naloga Magnetno zaviranje na klancu). Ocenjena vrednost napak meritev je bila približno 15%.
V grafu je razvidno, da se intervali napak k tokrat pokrivajo z deviacijo povprečja. Zavedamo se, da je graf ne prikazuje povsem realnih rezultatov, ker je šlo pri vrednosti napak meritev zgolj za oceno. Vseeno pa smo menili, da ti rezultati nakazujejo vzorec in zato bomo naredili isti postopek še z drugimi meritvami, ki smo jih tudi naredili v eksperimentih. 

Model se je torej ob povprečni vrednosti k ter k₂ = 2k in k₃ = 3k (ko so bili magneti tik ob vozičku) dokaj dobro ujemal z meritvami. Zato smo naredili še dva grafa, ki bi to dodatno potrdila. Zanimalo nas je namreč, ali bi se ta vzorec (k₂ = 2k₁ in k₃ = 3k₁) ponovil, če bi uporabili meritve vozička z magneti drug na drugem.

Ponovno smo fitali meritve. Pri fitanju smo dobili koeficient k, ko gre za voziček z dvema magnetoma drug na drugem (oranžna krivulja na sliki št. 13) in z dvakrat dvema magnetoma drug na drugem (temnozelena krivulja na sliki št. 13). Dobili smo naslednje vrednosti koeficienta k: k₁ = 1.02505 ter k₂ = 2.00922. Ponovno smo izračunali povprečno vrednost k = 1.01483 in izrisali grafa z uporabo te povprečne vrednosti.

Slika št. 23: Graf – primerjava meritev in matematičnega modela s povprečno vrednostjo k₁ = 1.01483 (voziček z dvema magnetoma drug na drugem – oranžna krivulja na sliki št. 13)

Slika št. 24: Graf – primerjava meritev in matematičnega modela s povprečno vrednostjo k₂ = 2*1.01483 = 2.02966 (voziček z dvakrat dvema magnetoma drug na drugem – temno zelena krivulja na sliki št. 13)

Slika št. 25: Graf – prikaz posameznih vrednosti k1 in k2 ter premice n*k
premica vijolične barve -  n*k
premica zelene barve - n*(k+deviacija)
premica modre barve – n*(k-deviacija)
rumeni kvadratki – fitane vrednosti k (k₁ in k₂)
rumeni repi kvadratkov – napake fitanih vrednosti k (k₁ in k₂)

Napake fitanih vrednosti k (k₁ in k₂):
k₁ = 1.02505 ± 0.05117               
k₂ = 2.00922 ± 0.091291     

Vrednost deviacije je 0.01.

Tokrat se napake fitanih vrednosti k in deviacije povprečja dobro ujemajo. Ker pa smo imeli le dve meritvi, smo se zavedali, da so zaradi tega rezultati nepopolni. Če bi imeli več meritev, bi bilo ujemanje prikazanih vrednosti bolj prepričljivo.

Enako kot pri prejšnji meritvah (magneti tik ob vozičku) smo tudi pri teh dveh meritvah (magneti, postavljeni drug na drugem), naredili še en graf, v katerem smo prikazali primerjavo fitanih vrednosti k (k₁ in k₂) z upoštevanimi napakami meritev.

Slika št. 26: Graf – prikaz posameznih vrednosti k1 in k2 ter premice n*k, z upoštevanimi napakami meritev
premica vijolične barve -  n*k
premica zelene barve - n*(k+deviacija)
premica modre barve – n*(k-deviacija)
rumeni kvadratki – fitane vrednosti k (k₁ in k₂)
rumeni repi kvadratkov – napake fitanih vrednosti k (k₁ in k₂), z upoštevanimi napakami meritev

Napake fitanih vrednosti k (k₁ in k₂) z napakami meritev:
k₁ = 1.02505 ± 0.205           
k₂ = 2.00922 ± 0.3927

Vrednost deviacije je 0.01.

Zadnja dva grafa sta nakazala, da se vzorec (k₂ = 2k₁) iz prejšnjih grafov ponavlja. Namreč, ko magnetoma, ki sta drug na drugem (koeficient k₁), dodamo še dva magneta, ki sta prav tako drug na drugem (koeficient k₂), se k prvih dveh magnetov pomnoži z 2. Torej: k₂ =2k₁.

Vse vrednosti, ki se pri različnih meritvah ne spreminjajo, smo združili v:

Edini vrednosti, ki sta se pri meritvah vozička na klancu spreminjali, sta gostota magnetnega polja (B) in površina magneta (A). Na spreminjanje vrednosti k pri naših meritvah je lahko vplivala le površina magnetov (A), le gostota magnetnega polja (B) ali pa obe vrednosti naenkrat.
Izhodišče je, da je k₂ = 2k_1. Ko smo izmerili k₂, je bilo na vozičku dvakrat več magnetov (tik ob vozičku) kot pri meritvah, ki so nam dale vrednost k₁. Površina dveh magnetov je dvakrat večja od površine enega magneta. Na podlagi obeh trditev smo sklepali, da je na naše meritve najverjetneje vplivala površina magneta (A). 
Menili smo, da bi bilo v naslednjem koraku dobro pogledati, kako je z vplivom gostote magnetnega polja (B) na vrednost k.
Iz pridobljenega znanje fizike vemo, da je gostota magnetnega polja (B) magnetnega dipola obratno sorazmerna z razdaljo na kubik (r³). To bi pomenilo, da je k obratno sorazmeren z razdaljo s potenco 6 (r⁶).

Hoteli smo izvedeti, ali je mogoče zaznati to sorazmernost v naših meritvah. Odločili smo se, da pogledamo konstanto k pri naslednjih dveh meritvah:
- voziček z enim magnetom tik ob vozičku,
- voziček z enim magnetom na razdalji 3 magnetov od vozička (razdaljo smo dosegli z uporabo plastičnih koščkov).
Opomniti velja, da so bile meritve, ki bodo predstavljene v nadaljevanju, opravljene na drugem vozičku, ki smo ga uporabili na začetku, potem pa smo ga zamenjali z bolj ustreznim. Zaradi tega bo vrednost k različna od te, ki je bila uporabljana v prejšnjih poglavjih poročila.

Slika št. 27: Graf – primerjava hitrosti in pozicije vozička glede na oddaljenost magneta od klanca
vijolična krivulja – voziček brez magnetov
zelena krivulja – 1 magnet tik ob vozičku
oranžna krivulja – 1 magnet, s plastiko smo simulirali razdaljo 3 magnetov od vozička
modra krivulja – 4 magneti tik ob vozičku
rdeča krivulja – 4 magneti, postavljeni drug na drugem

Slika št. 29: Graf – prilagoditev (fit) krivulje meritvam pri vozičku z enim magnetom na razdalji 3 magnetov od vozička, k₂ =  0.7253 (oranžna krivulja na sliki št. 27)
Za boljše razumevanje izračuna razdalje od magneta do aluminijastega klanca, smo izdelali ustrezno sliko.

Slika št. 30: Prikaz razdalje magneta tik ob vozičku do aluminijastega klanca (daljša puščica) in razdalje magneta do aluminijastega klanca, ko smo med magnet in voziček dodali plastiko (krajša puščica)
rdeča barva – voziček
svetlo siva barva – aluminijasti klanec
temno siva barva kvadratkov – magneta

Pri naslednjem izračunu bo daljša puščica r₁, krajša puščica pa r₂.
Dobljeni vrednosti k sta bili: k₁ = 0.1964 in k₂ = 0.7253.

Vrednosti r₁ in r₂ ne poznamo. Vendar vemo, da je med njima razdalja 3 magnetov, čemur ustreza dolžina 6 milimetrov.

Vemo, da je r₁ več kot 6mm in manj kot 10mm, saj je bilo pod vozičkom prostora za maksimalno 4 magnete, postavljene drug na drugem. To pomeni, da če bi bil rezultat med 6 in 10mm, bi teza o sorazmernosti verjetno držala.

Rezultat, ki smo ga dobili, pa ne ustreza tej predpostavki, saj je r₁ = 30.7mm. To pomeni, da je naša predpostavka ovržena. Možna razloga za tak rezultat sta po našem mnenju lahko naslednja:

-s tem, ko se magnet približuje aluminijastemu klancu, se mogoče spreminja efektivna površina magneta (A),

-ker magnet ni točkasti dipol, bi morali upoštevati še nekaj drugih parametrov, ki delujejo na gostoto magnetnega polja (B).